bbin体育到账慢
人教首頁

課程教材研究所

當前位置:首頁   >   課程教材研究所   >   教材研究   >   教材研討

高中數學核心概念教材編寫的國際比較

時間:2014-03-19作者:人民教育出版社 王 嶸 章建躍(通訊作者) 宋莉莉 華東師范大學數學系 周 丹

 

摘 要:數學核心概念是一個擁有“核”的“概念群”,是由核心概念及其生長出的子概念組成的知識體系。經過比較,發現各國教材都十分重視發揮核心概念的育人功能。圍繞核心概念建立教材的結構體系,主要從兩個角度入手,一是建構以核心概念為中心的概念圖,包括縱向發展主線和橫向聯系節點,以形成一個主線明確、聯系通暢的網狀體系;二是用一以貫之的數學教育觀念統領教材的內容確定、素材選擇、欄目設置、呈現方式等等,為實現數學教育目標提供可選擇的學習資源,并體現多樣化的學習方式。

 

關鍵詞:核心概念 概念群 教材 國際比較 函數

 

數學核心概念在數學課程中的重要性已引起國際數學教育界的普遍關注和研究。圍繞核心概念的研究有三個基本問題:(1)怎樣的概念具有“核心”地位;(2)哪些是核心概念;(3)核心概念是如何組織和呈現的。本文從國際比較角度探討問題(3),以期為我國高中數學課程設計和數學教材編寫提供有益參考。

 

核心概念位居數學概念體系的中心點,自我生長能力強,可以生成一個“概念群”。因此,核心概念的組織和呈現,不僅要考慮此概念的發生和形成,還要從整體入手,考慮如何以此概念為中心,形成概念網絡的體系和節點。

 

各國高中數學課程中,函數都是核心概念之一。所以,不失代表性,我們以函數為例展開研究。

 

一、函數概念的發展線索

 

我們選取美、法、德、日、中五國教材[15]進行比較分析,表1是五國教材中函數概念的發展線索。

 

1五國教材中函數概念的發展主線

 

由表1可見,函數概念在五國教材中的發展主線基本相同:定義→性質→基本初等函數,但存在如下顯著差異:(1)性質和基本初等函數的編排順序不同;(2)以函數為核心的網絡節點上的概念選擇差異較大,特別是圖象變換和函數種類。如法國教材,有理函數、多項式函數都有涉及,并且介紹了多項式函數的形式化定義,而中國教材只涉及五個最基本的具體冪函數。

 

我們認為,因為各國的國情、數學教育理念、教育的傳統乃至教材編者對數學知識的認識和定位都是不同的,所以出現差異很自然。這些“不同”所造成的差異不僅體現在核心概念網絡體系的構建上,也體現在對核心概念本身的關注點、為學生構建的學習方式等方面。

 

二、對函數概念的關注點

 

核心概念位居數學知識體系的中心,其強大的生長力可以產生“柱根相連,柱枝相托,枝葉擴展”的“概念群”。函數概念更具代表性,與之相關的概念眾多,例如:常量、變量、運動、變化、集合、對應、關系、映射、模型,以及應用、聯系……對這些相關概念的重視程度,各國教材既有共性也有差異

 

    1.共同關注點:函數概念的聯系性

 

早在100多年前,F·克萊因就提出中學要“以函數觀念和幾何直觀作為數學教學的核心”的觀點。“函數觀念”(可以進一步具體化為“函數概念及其反映的數學思想方法”)作為整個高中數學的核心,可以在整套教材的組織中發揮聯系紐帶的作用。

 

從函數內容的具體組織看,各國教材都不集中安排函數內容,而是與其他領域的知識相互穿插。其中最突出的是美國教材,每一章都以穿插學習的方式,把與當前學習的具體函數有直接聯系的各種知識都穿插在一起。例如“線性函數與數列”一章,以“線性關系”為紐帶,將代數、幾何和統計領域中的直線方程、等差數列、回歸直線和階梯函數等相關概念融會貫通,而聯系它們的核心概念就是線性函數(如表2)。

 

2“線性函數與數列”的知識體系

 

為使“聯系”更加自然,美國教材以“問題解決”為指導思想,圍繞著解決實際問題的需要,通過建立不同類型的函數模型,引出相關概念,讓學生“了解直線、幾何和統計之間聯系”。例如,通過建立常數增長(或下降)情境的函數模型,導出直線方程的斜截式及其圖象;通過建立描述兩組相關聯數據關系的函數模型,導出回歸直線的定義等。

 

從教材呈現來看,與函數概念的聯系表現出多向性。例如,我國教材專設一節函數與方程;日本教材在介紹了具體函數(如三角函數、有理函數等)概念和性質后,通過函數圖象研究相應的方程和不等式;法國教材將算法和函數密切結合,如函數定義一節中的“能力12 用一種算法定義一個函數”,其中的問題1和問題2(見表3)要求學生從算法到函數、從函數到算法進行轉換,意在促進學生建立算法和函數間的聯系,從而既能從不同角度理解這兩個數學對象,又能在一定的情境中恰當地選擇數學對象解決問題。

 

3 能力12 用一種算法定義一個函數

 

2. 不同的關注點:函數概念定位的差異

 

由于對函數概念內涵的關注程度不同,各國教材在素材、知識點的選擇、呈現方式等方面出現差異。對函數概念內涵不同的關注點,本質上反映了各國對函數學習的不同定位,而不同的定位又是不同數學教育觀念的具體反映。

 

o        美國教材的關注點:模型

 

美國教材將函數定位為“描述兩個變量關系的數學模型”。因此,函數概念的模型特性成為關注重點,主要表現在:

 

1)給出函數定義后,教材對數學模型的涵義進行了解釋——現實情境的數學模型就是用數學的語言和概念描述它,并舉例說明通常必須簡化現實情境以構建數學模型;

 

2隨后一章(Variation and Graphs),教材舉例說明建立函數模型的兩種方法,一是利用數學原理(如各種算法、度量公式、統計量等),二是通過擬合數據;

 

3)介紹某種具體函數時,都包含了建立函數模型刻畫實際情境的內容;

 

4FunctionsStatistics and Trigonometry專門設置了一章“函數與模型”,總結Advance Algebra中介紹的函數模型

 

從問題情境看,美國教材選擇了大量現實素材,而且類型具有多樣性;從對情境的描述看,美國教材注重問題的真實性、可信性和趣味性。如表4是美國教材和中國教材中都有的細胞分裂情境,顯然美國教材給出了更具體豐富的細節,不僅出現了一種常見細菌細胞的名稱、分裂時間,而且還配了圖片。

 

4 教材中的細胞分裂情境

  

 

o        德教材的關注點:圖象和現實導向

 

函數圖象是函數概念的表示方式之一,同時它也是研究函數性質、解決相關問題的有力工具。五國教材都關注函數圖象,但德教材對函數圖象的研究最具系統性:

 

1)在具體函數(三角、指對函數)中,充分利用圖象研究函數性質;

 

2)專門設置一章(如表5)對圖象和性質進行研究,使得每類具體函數的圖象、定義域、值域、零點、對稱性、無窮遠處函數值等都有比較系統的呈現。

 

5 德國教材“函數的圖象和性質”一節的內容

 

強烈的現實導向是德教材的另一關注點,目的在于讓學生學會用函數概念去理解現實中的相關問題。教材選擇了具有各種各樣現實背景的實例,這些實例的數量和豐富度居五國教材之首。值得注意的是,這種“現實導向”并不只是背景上的豐富,其落腳點是問題解決。例如同是三角函數,德國教材強調利用概念并借助信息技術等工具解決問題,而我國教材強調知識間的聯系,強調“為熟練公式和應用三角性質”的代數變換。

 

o        法國教材的關注點:多元表示和形式化

 

法國教材試圖用多種手段呈現每一概念,如數字、表格、圖形、代數表達式等,這是一個很顯著的特點。主要采取了如下措施:

 

1)介紹概念時,采用圖表、計算等手段明確概念內涵。例如,引入函數定義的“介紹活動”中安排了5個活動,多角度地呈現函數的元素及其內涵。活動1是算法角度:給出兩個算法,引導學生觀察、理解,得到“兩個不同的算法使用的兩種代數表達式,反映了同一種對應關系”;活動2是圖象角度:利用計算機操作圖象,探究函數相關元素及其關系;活動34是幾何角度:解決幾何問題以辨析函數的特征;活動5是計算角度:根據方程計算數值,認識函數。

 

2)設置應用問題(包括例、習題和課題學習)時,要求從文字表述、圖表表征、符號表示等角度進行解決。如交流課題“2050年世界人口”,要求學生通過計算、作圖、列表、文字敘述等手段解決教材提出的4個問題。

 

比較可見,法國教材對概念形式化和邏輯性的要求較高,主要表現為:

 

1)從定義到性質、定理,分別用DifinitionPropertyTheroem標注,逐條羅列、按章排序,這與我國大學數學教材的表述形式類似;

 

2)多采用符號語言敘述定義、性質和定理,簡潔明確,這和美國教材的敘述方式差異頗大;

 

3)例題解答中,標明重點步驟采用的定理(性質),突出邏輯推理。

 

o          日本教材的關注點:直觀化

 

日本教材除直接給出函數定義外,所有具體函數(一次、二次、分段、三角、指數、對數、簡單分式、簡單無理函數)的定義都采用“具體函數表達式→一般函數表達式→函數圖象研究→函數性質及相關概念”的方式(如表6)。這種由“特殊到一般”的方式體現了日本教材對函數概念直觀化的重視。

 

6 日本教材中的函數概念

 

o        中國教材的關注點:內涵和模型

 

    我國教材對函數概念的學習,一是強調對其內涵的理解,二是強調函數是一種模型。和以往相比,教材加強了“函數是刻畫現實世界事物變化規律的數學模型”的觀點,給出每一種具體函數模型的建立過程,并對不同函數模型(主要是指數函數、對數函數、冪函數)的增長差異進行比較等。但和美國教材相比,在“模型思想”的自然融入方面差距較為明顯。

 

在五國教材中,我國教材在強調函數內涵理解方面最為突出。教材認為,函數概念是運動變化和對立統一等觀點在數學中的具體體現,因此注重從變量之間依賴關系到集合之間對應關系的提升。具體表現在:采用集合與對應的語言描述三類函數實例中的變量及其關系,并在概括它們的共同特征基礎上介紹嚴格的“對應說”;注重對函數概念的辨析,強調對函數整體性的認識,包括對三要素、函數符號、函數相等的細致分析和熟練應用。如下面的例2一直是我國教材中理解函數概念整體性的傳統題目。而在介紹每一類具體函數時,都注重回歸一般的函數概念,以促進學生更深入地認識函數在刻畫現實世界中運動變化現象的重要性。

 

2 下列函數中哪個函數與函數y=x相等?

  

三、核心概念的學習方式

 

    各國教材在核心概念學習方式上采用了比較一致的做法,即強調學生的自主學習。主要有:自主探索、課題學習和加強與信息技術的整合。

 

     1.自主探索

 

     五國教材的具體做法為:問題和活動。

 

o        中國教材以問題引導學生學習核心概念

 

    我國教材以 “觀察”“思考”“探究”等欄目將問題穿插在正文敘述中,主要作用是在知識形成的“關鍵點”上,在運用數學思想方法產生解決問題策略的“關節點”上,在數學知識之間聯系的“聯結點”上,在數學問題變式的“發散點”上引導學生的思考和探索活動。例如教材介紹了函數的幾個典型實例后,為了促進學生思考它們的共同本質特征而概括出函數定義,用“思考:分析、歸納以上三個實例,變量之間的關系有什么共同點?”加以引導。

 

o        美、德、法教材均通過“活動”引導學生學習核心概念

 

通過“活動”學習數學概念是這些國家教材的一個共同特色,但呈現方式又各不相同,其中法國教材最具特色:

 

1)相對于美、德教材將活動與知識講解相整合的做法,法國教材每一章都劃分為三部分:介紹活動,課程知識,練習問題,將活動與知識講解分離。“介紹活動”包括一些小的探究、實踐或認知活動,重點是對知識在各種背景下的表征方式的認識和問題解決上。有調查(見注2)指出,法國教師對“介紹活動”最為關注且經常使用。

 

2)法國教材并沒有給出“介紹活動”的分析和解答,這樣就給學生提供了更大的自主探索空間,而且許多活動的解答方式乃至答案都可以不同,這也加大了學習方式多樣性的力度。

 

    2.課題學習

 

    五國教材在核心概念的學習中,都安排了“課題學習”,主要是讓學生通過知識的綜合應用,以實踐、交流等方式展開概念的進一步學習,實現知識的綜合貫通。與常規習題相比,完成這樣的任務往往需要對概念更深刻的理解、靈活的應用和更多的時間。例如,我國教材中安排了一個“實習作業”,讓學生應用函數探究諸如“一杯開水的溫度降到室溫大約需要多少時間”等問題;美國教材章末設有“projecttime series data”,讓學生尋找適合一定要求的例子;德國教材中的“課題:螺旋函數”,讓學生研究與“正弦、余弦值”有關的另一類函數,同時滲透了數學史的知識(如圖1)。

 

  

1

 

    3.信息技術的使用

 

數學課程的很多領域都適合使用信息技術。例如信息技術增加了“數學實驗”的可能性,可以借助計算機、圖形計算器等對數量關系、平面與空間中的位置關系和大小度量、數據處理等進行動態實驗,能使學生更直觀地發現某種規律性,進而提出問題并導向一個概念或性質。因此,五國教材都不同程度地使用了信息技術幫助學生學習核心概念。特別是美、德、法教材,使用信息技術的力度很大,表現在兩個方面:

 

1)使用圖形計算器、計算機和互聯網等多種信息技術手段,目的是簡化計算、方便作圖,提高準確性,提高學習效率,同時還可以將數字和圖表結合起來,豐富學習核心概念的視角,實現概念的多元聯系表示。更重要的是,信息技術減輕了運算、作圖等“體力勞動”,使學生有更多時間和精力用于探索更廣泛、更本質的數學問題。例如,與中、日教材比較,美、德、法教材更加注重借助技術的圖形功能,以更深入地研究函數圖象變換問題。

 

2)使用信息技術的頻率很高。例如,法國教材在“函數定義”一章安排的10個能力達標例題中,有5個需要使用信息技術;美國教材在“函數”一章有十多處使用了信息技術。

 

四、 結論與啟示

 

1.核心概念應理解為一個擁有“核”的“概念群”,它是由核心概念及其生長出的子概念組成的知識體系。圍繞核心概念建立教材的結構體系,主要可以從兩個角度入手,一是明確以核心概念為中心的“概念圖”,包括縱向發展主線和橫向聯系節點,以形成一個主線明確、聯系通道順暢的網狀體系,這是關鍵;二是要有一個一以貫之的數學教育觀念的統領,使教材在內容確定、素材選擇、欄目設置、呈現方式等各方面都能為實現相應的數學教育目標而提供恰當的學習方式。“函數”是一個核心概念,五國教材都十分注重發揮函數概念的強大生長力,建立了以函數概念為“核”的輻射狀的教材結構體系,這一體系具有概念聯系的緊密性、多向性的特點,成為學生理解數學、應用數學解決問題的一個典型載體。

 

2.核心概念的強大生長力和深刻的思想性,決定了它必然具有內容的豐富性、聯系的廣泛性、表現方式的多樣性和育人功能的全面性等特點,這就需要我們做出選擇——以哪些內容和聯系方式為載體、以怎樣的組織方式才能充分發揮它的育人功能。比較發現,這種選擇與一個國家的國情、數學教育觀念、課程(教材)編制人員對數學和數學教育的認識等均有關系。例如對函數概念,五國教材的關注點存在顯著差異,有的注重數學的抽象化,有的強調圖象的直觀,有的注重實際應用中體現的模型思想,有的注重函數作為聯系代數、幾何、統計等各科知識的紐帶等等。各國教材對函數概念的不同關注點,以及精彩紛呈的處理方式,可以為我們把握函數教材的改革方向提供很好借鑒。

 

3.五國教材在核心概念的學習方式上表現出較大的一致性,即強調學生的自主探索和知識建構,問題引導和設置各種活動成為了教材普遍采用的方式。這樣的一致性實際上是國際數學教育界對加強學生的自主性,提高學習的主動性,增強學習的探究性的認同,也是將自主探索、動手實踐、數學閱讀、合作交流等數學學習方式落在實處的舉措。從學習目標的角度看,實際上都是為了使學生學會學習。

 

另外,在應用信息技術進行數學學習方面,歐美教材表現出更大的熱情。比較發現,信息技術對數學教材有多方面影響。例如,數學知識的選擇,信息技術的使用可以降低某些數學知識學習的門檻,如圖象變換;數學學習方式的改變,信息技術使得自主探索、動手實踐、合作交流等學習方式成為“家常便飯”。

 

1:本文系國家社會科學基金“十一五”規劃2010年度教育學重點課題“主要國家高中數學教材比較研究”(課題批準號:AKA100009)子課題“主要國家高中數學教材核心概念、技能及重要思想方法的比較研究”主持人:章建躍)的階段性成果。

 

2Birgit Pepin,Oxford;Linda Haggarty,Milton Keynes.Mathematics textbooks and their use in English,French and German classrooms.ZDM 2001 vol.33(5).

 

  參考文獻:

 

  [1]中國, 《普通高中課程標準(實驗)教科書數學A 版》, 人民教育出版社(20072))。

 

  [2]日本, 新編數學, 數研出版株式會社(2006)。

 

  [3]美國, UCSMP, McGraw_Hill20103))。

 

  [4]法國, Maths, Belin2005)。

 

  [5]德國, LS Mathematik, Klett2006)。

相關閱讀

評 論
已有條評論
    
    驗證碼:  驗證碼  

© 版權所有 人民教育出版社      京ICP備05019902號      新出網證(京)字016      京公網安備110402440009號

bbin体育到账慢 双色球投注技巧兰球 重庆时时彩过年会停吗 韩国快乐8 蛇怎么赚钱 广东快乐十分计划论坛 澳洲幸运10官网 天津十一选五计划软件手机版式 买马开奖结果今天晚上 四川时时彩下载手机版 北京赛车pk10