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我國中學數學教材的建設與發展

時間:2013-10-23作者:人民教育出版社中學數學室 章建躍 左懷玲

新中國成立以來,我國中學數學教材進行了持續不斷的改革。其間經歷了編譯、改編蘇聯教材到獨立編寫統編教材再到教材“多樣化”的發展過程。總結其中的經驗對我國中學數學教材的繼續發展很有意義。

 

一、教材編寫和實驗的基本過程

 

早在1950年,我國就成立了中小學教材研究、編寫和出版的專門機構—人民教育出版社,并同時作為編制和修訂國家統一的“教學大綱”的聯系單位;在20世紀80年代初又在人教社成立了課程教材研究所,以加強教材的研究工作。這是“中國特色”,由此決定了我國的數學教學大綱制定和數學教材編寫之間的互動機制,形成兩者通盤考慮、相互促進、互為所用的特點。在這樣的機制下,教學大綱的內容部分往往就是教材的體系結構,這對教學大綱的科學性、合理性以及教材結構體系的邏輯嚴謹性和可教可學性等,都有較好的促進作用。

 

1988年底,為了適應實施九年義務教育的需要,提出了教材的統一性和多樣化相結合的方針,教育部同意多家出版社在統一的“教學大綱”下編寫和出版教材,并鼓勵開展不同指導思想下的教材試驗,通過審查的教材(分正式使用和實驗試用兩類)初中8套,高中3套。2000年以后,教育部加大了教材編寫權的開放力度,任何出版社只要通過教材編寫的資質審核,就可以編寫教材。不過,“課標”(即“大綱”)仍然是全國統一的。

 

1.教材編寫的過程

 

在教材編寫過程中,我國長期堅持“研究、編寫—審閱、試教—修改、出版—再試教、再審閱—再修改—……”的過程控制。這一過程既強調做好文本準備,又注重反復的調查研究、實踐檢驗和修訂完善。

 

在文本準備方面,首先注重總結已有經驗,研究國際資料。例如,1963年開始使用的教材是中國歷史上最好的數學教材之一,這與前期充分的文本研究準備工作有很大關系,在1961年就開始總結自1950年開始的教材編寫經驗,并從教學要求、教學內容、編排體系和教學方法等方面,進行國際(主要是前蘇聯、東德、美國和日本等國家)比較研究。又如,在1980年代中期,組織了“我國經濟和社會的發展對數學基礎知識和技能的需要的調查研究”,這一調查涉及機械、電子、冶金、水電、航天、農林、財貿、交通、地礦、郵電、衛生、化工、船舶、輕工、紡織、城建等16類行業,有692名工程技術或業務管理人員填寫問卷,還有60多所高校300多個專業的負責人也填寫問卷,總樣本數達1000左右;另外還從全部21個類別的期刊中抽樣76種,每種各取近半年共413期,對其中出現的數學知識進行統計。由此獲得當時各行各業對數學知識需求情況,為新一輪課改做了較充分準備。

 

教材編寫的過程:在編好初稿后,作為“試教本”(非正式出版物),先在幾個中學進行小規模試用,同時在較大范圍征求教師和其他相關人員的意見,并聘請國內頂級數學家(如華羅庚等)審閱教材。根據試用中發現的問題和專家、教師提出的意見進行修改,然后正式出版,逐步推開。這樣不僅能切實提高教材質量,而且還能大大降低試驗風險和成本,為教材改革的成功提供較充分保證。

 

2.教材實驗和使用的過程控制

 

20世紀60年代開始,我國的教材實驗和使用有一定的過程控制機制,主要有如下幾個基本環節:

 

跟蹤聽課(及時記錄、師生訪談),各種形式的座談會等廣泛調查,收集意見;

 

分析、研究收集到的意見,結合意見反思教材編寫過程,找出問題所在;

 

為了確定修改方案,進行理論研究和進一步調研;

 

確定修改方案,并進行修改;

 

修改稿試教,再征求意見;

 

對修改稿的調研資料進行分析,明確修改稿的優點和存在的問題,并針對問題進一步修改。

 

這樣,我國教材改革形成了邊實驗邊推廣、邊使用邊修訂的動態發展格局,教材的實驗過程和修訂、推廣過程是交替統一的。例如,63新十二年制課本初中教材,1962年夏編出第一冊初稿起,作為試教本在北京景山學校、豐盛中學、二龍路中學等學校和其他省市一些學校試教,同時送給一些省市征求教師的意見;1963年上半年,根據試教中發現的問題和各省市提出的意見修改后正式出版,從1963年秋季起開始使用。在使用過程中,每次再版時,都要根據使用過程中發現的問題以及專家、教師提出的合理意見進行修改。這樣,教材得到不斷修改和完善,而且這樣的過程從來沒有停止過。

 

二、教材的結構體系和內容

 

我國數學課程、教材改革一直在進行,改的理由很多,但有一條是“永恒”的:減輕學生負擔,提高教學質量。

 

1.結構體系——分科還是綜合

 

在數學教材結構體系方面一直存在不同觀點,涉及兩個問題:一是分科直線式好,還是綜合遞進式好;二是以怎樣的思想貫穿始終?

 

傳統上,我國數學教材采用分科為主,即按“代數”“平面幾何”“立體幾何”“解析幾何”等分科。結構體系處理原則是:

 

1)注重數與數的內在聯系、形與形的內在聯系,以及數與形的聯系與區別;

 

2)注意學生的認識過程和接受能力;

 

3)初、高中分段,各有重點;

 

4)注意與物理、化學等相鄰學科的配合。

 

1990年代后期開始不再分科。結構體系處理原則是:有利于精簡課程門類;有利于教學內容的現代化;有利于學生學好雙基;有利于知識的綜合應用。內容安排的原則是:(1)綜合安排為一門數學課;(2)由淺入深、由易到難、循序漸進,符合學生的認識過程和接受能力;(3)加強教材的系統性;(4)初高中分段,各有重點;(5)注意與理化等相鄰學科的配合。

 

2.教材內容的選擇標準

 

主要有如下幾方面:

 

第一,是否為代數、幾何、統計與概率中的最基本的知識;

 

第二,是否為生活、生產和科技活動中廣泛應用的知識;

 

第三,是否為繼續學習所必備的知識;

 

第四,是否為學生能夠學得了的知識。

 

3.教學內容的變革

 

上述標準是“普遍適用”的。不過,在具體內容的確定上存在差異性,這是對上述“標準”的理解差異造成的。下面以歐氏幾何、微積分和統計與概率的內容變革為例。

 

1)幾何內容的改革

 

我國長期以來是比較單一的“歐氏幾何”,認為這是培養學生邏輯推理能力和空間想象力的最好載體。例如,在“新數運動”席卷全球、提出“歐幾里得滾蛋”的1960年代,我國平面幾何教材仍然比較系統地介紹歐氏幾何,學時也較多(237課時)。在1990年代開始實施九年義務教育,平面幾何內容仍然基本保持了歐氏幾何的結構,總學時為204課時。在2001年開始使用的教材中,幾何課程被大幅度修改:論證幾何內容大量削減,例如對于相似形、圓的性質及其證明不再提出要求;增加了實驗幾何、幾何變換的內容。

 

2)微積分內容的改革

 

1960年代后期曾爭論過微積分是否進入中學的問題,有的還寫入了試驗教材。但考慮到學習內容已很多,師資也有困難,所以還是未正式列入課程。

 

1980年代前后,微積分開始進入高中,而且課時量在7080課時,閉區間上連續函數的性質、導數的運算、復合函數的導數、反函數的導數、隱函數的導數、高階導數、換元積分、分步積分、旋轉體的體積等都要學。由于操之過急,教學中無法實施,所以很快改為“選學”,實際上則不學(高考不考)。到1996年,微積分再次納入高中課程,不過內容和課時都減了。微積分教材強調了數學的嚴謹性,即先講極限,再講導數,從導數到原函數到不定積分再到定積分,其中,極限存在的充要條件、連續函數的概念和性質等都講,這是出于數學的嚴謹性,但學生理解有困難,而且實際應用也不要求如此嚴格。在最新一輪課改中,改變了這一做法,以“瞬時變化率”描述導數,從導數的幾何意義和物理意義幫助學生直觀理解導數,把重點放在用導數研究函數和解決實際問題上。

 

微積分真正進入我國高中課程才10年左右,開始階段有“大學教材下放高中”之嫌,目前朝“理解導數思想,強調導數的實際應用”努力。

 

3)統計與概率內容的變革

 

統計與概率內容一直沒有得到重視,概率長期被列入代數中,重點放在“古典概型”的計算。90年代后期才把統計和概率作為必修內容。強調概率作為統計的理論基礎,強調平均數、眾數、方差等的計算,用計數原理(排列、組合)計算古典概型的概率,統計與概率在處理隨機現象中的作用不突出。

 

目前,統計與概率得到很大重視,課時從40左右增加到80左右。指導思想上,強調統計作為“搜集、整理、分析數據的學科”在為人們制定決策上的作用,強調概率作為“研究隨機現象規律的學科”在為人們認識客觀世界提供思維模式和解決問題的方法上的作用(不僅僅是統計的理論基礎),要讓學生通過學習形成“統計思想”,了解隨機現象,能用統計與概率的觀點看待和處理實際問題。

 

總之,內容的變革朝精簡、有用、現代化的方向發展,嘗試增加微積分、概率、統計、向量、行列式、邏輯代數等初步知識,把集合與對應、映射等的最基本內容滲透到教材中。

 

三、我國數學教材的傳統特點

 

1.講究知識的邏輯順序

 

這是一種公理化思想指導下的教材編寫方式。強調根據數量關系和空間形式各自的內在邏輯關系,以及它們的聯系與區別組織教材內容順序。例如,代數教材,初中先講有理數、實數、代數式、一次二次方程,為代數式恒等變形和列方程解方程打好基礎,然后講函數的初步知識;高中先把代數式、方程和不等式的知識拓寬加深,再講指數函數、對數函數、三角函數和數列,最后講數學歸納法、排列組合和二項式定理、概率與統計、微積分初步。

 

另外,概念的邏輯順序也非常強調,“沒有嚴格定義過的數學概念不能使用,當前要用的概念前面一定定義過”是安排教材內容的一個不成文的準則。例如,為了講勾股定理,就在此之前安排“數的開方”和“實數”的概念,以使“開方”運算能夠通行。

 

2.講清概念

 

教材編者認為,弄清概念是學好數學的必要條件。因此“講清概念”是中國數學教材編者最看重的,并想了許多辦法。例如:從學生能理解的實例引入,或在引入概念后用實例說明;采用對比的方法,指出有聯系的或容易混淆的概念之間的關系;等。

 

例如,“無理數”概念的講解過程如下:先指出“有理數都可以寫成有限小數或循環小數”,并舉例;再用π等說明存在“無限不循環小數”;給出定義“無限不循環小數稱為無理數”;要求學生“想一想,是不是無理數?用根號形式表示的數都是無理數嗎?”最后,將無理數進行分類。

 

上述過程中,用與有理數“對比”、并通過“舉例”的方法給出無理數的定義;在例子中有意用π,以說明無理數不只是“方根數”,避免引起誤會;通過“想一想”,讓學生知道“帶根號的不一定是無理數”。這樣幾個環節很好地體現了“講清概念”的思想。

 

3.突出重點、抓住關鍵、解決難點

 

課本中的內容雖然都重要,但有些對后續學習作用更大,教材編者把這些叫做“重點”,注意用更多的時間和力量講解這些內容。例如,初中代數中,有理數的運算、代數式的恒等變形、一次方程和二次方程和方程組的解法等是重點;平面圖形的性質是平面幾何的重點;等。

 

“關鍵”是指那些具有決定性作用的內容,掌握了它們,其他知識就比較容易了。這些內容,強調“集中力量,講深講透”。例如, “代數式恒等變形”是初中代數的關鍵,教材在例題的類型、練習題的數量和要求等都有較高的要求,強調“熟練”“靈活”“迅速”。

 

“難點”是指那些不容易理解的內容。這些內容的處理方法是:適當分散、多舉實例、加強直觀、預作準備、逐步訓練等。例如,平面幾何的邏輯論證是一個難點,教材編者采取“預作準備、逐步訓練”的方法:

 

第一步,在“相交線、對頂角”中,先通過“說理”得出“對頂角相等”:如圖,∠2與∠1互補,∠3與∠1互補,就是說,∠2與∠3同是∠1的補角,由“同角的補角相等”可以得到∠2=3;同樣有∠1=4

 

 

再引進符號,用“論證格式”書寫:

 

∵∠2與∠1互補,∠3與∠1互補(鄰補角的定義),

 

∴∠2=3(同角的補角相等)。

 

然后在“平行線”中反復演示、練習上述“說理——論證”過程,以達到強化規范的目的。

 

第二步,安排“命題、定理、證明”,給出命題、命題的真與假、公理、定理及其證明等概念,并作出證明書寫過程(“已知——求證——分析——證明”)的示范。

 

第三步,在“三角形”一章中,通過“三角形內角和定理”、“三角形的全等”等,對幾何證明進行強化訓練。

 

4.強調“便于教學”

 

隨著學習內容抽象程度的提高,對學生思維的邏輯性要求也不斷提高。為了使學生在算術到代數、實驗幾何到論證幾何、定性幾何到定量幾何、常量數學到變量數學、確定性數學到隨機性數學的轉折上過渡得容易些,教材編者在了解教學實情基礎上不斷改進教材。例如:

 

1)把較難接受的內容適當后移,使內容的深淺程度與學生的接受能力相適應。

 

2)在每一節教材的開頭先列出“目的要求”,便于學生明確學習目標。例如,“13.2函數”列出的目的要求是“1.能分清實例中出現的常量與變量、自變量與函數。2.對簡單的函數表達式,能確定自變量的取值范圍,會求出函數值。”

 

3)減緩坡度,分散難點。將知識的學習過程分成更細致的臺階,讓學生“小步快進”。學習難度下降了,但思考力度也隨之下降,有利于掌握知識,但對學生獨立思考能力的培養不利。

 

例如,二次根式是一個難學的內容,教材[6]先安排具體數字的計算;再安排“字母都是正數”的運算,對字母的取值范圍作出限制(如已知ab,化簡);在上述運算達到熟練后,再安排討論:而且對三種情況分別進行詳細討論。

 

4)注意語言表述的簡明易懂。例如,二次根式的定義,原來是“文字語言”,敘述為“表示方根的代數式叫做根式”,改為“式子a0)叫做二次根式”就更簡明些。

 

5.強調基本技能訓練

 

主要體現在例題、習題的配置中。具體的做法是:講例題時,強調對解題思路的分析,使學生既知道怎么做也知道為什么這么做;講完幾個例題后再總結出解題步驟,使學生能“按部就班”;在例題之后一定配有對應的“基本訓練題”,以鞏固概念和方法。例如,“用代入法解二元一次方程組”一節有這樣的安排:

 

1解方程組

 

分析:方程(1)說明可以把y看作1x,那么方程(2)中的y也可以看作1x,于是方程(2)就可以轉化為一元一次方程了。……

 

2解方程組

 

分析:要考慮將一個方程中的某個未知數用含另一個未知數的代數式表示。方程(2)中x的系數是1,因此,可以先將方程(2)變形,用含y的代數式表示x,再代入方程(1)求解。……

 

上面通過幾個例子介紹了……代入法。這種解法的基本思路是:通過“代入”,達到消元(即消去一個未知數)的目的……它的一般步驟是:

 

1)從方程組中選一個未知數的系數比較簡單的方程,將這個方程中的一個未知數,例如y,用含x的代數式表示出來,也就是化成y=ax+b的形式;

 

2)將y=ax+b代入另一個方程中,消去y,得到一個關于x的一元一次方程;

 

3)解這個一元一次方程,求出x的值;

 

4)把求得的x的值代入y=ax+b中,求出y的值,從而得到方程組得解。

 

3(系數更復雜的方程組)。

 

練習分為4類:

 

第一類,把2x+y=35x2y+12=0之類的二元一次方程寫成用含x的代數式表示y的形式;

 

第二類,解方程組的習題;

 

第三類,簡單應用題;

 

第四類,綜合題,如“已知方程組的解是x=5y=3。求ab的值。”

 

可以發現,例題的講解按照“系數的復雜程度”由易到難遞進,解題步驟總結得很細致。習題相應配套,而且數量較多,前后共有40多題。

 

6.強調數學能力的培養

 

我國數學教材歷來重視數學能力的培養,而且以運算能力、邏輯推理能力和空間想象力為核心。教材編者認為能力的培養是在雙基的積累、解題訓練過程中,通過對應用題中數量關系的分析、對幾何圖形中輔助線的不同添加方法、思考同一問題的不同解法等,不斷提升觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括水平,學會運用歸納、演繹、類比等得到發展的。另外,在不同知識的聯系中,如用代數方法解決幾何問題、用幾何知識研究函數圖象等,也可以發展學生的數學能力。所以,教材的習題安排在這方面是狠下功夫的。

 

7.以統一性為主

 

由于“教學大綱”是全國統一的,而且高考也采用“全國統考”方式,所以教材也是以“共同要求”為主。當然,也適當考慮了“彈性”,而且初中強調“普及”,以達到“共同要求”為主,“彈性”少些;高中“文理分科”,“彈性”稍大。在處理方式上,主要采用“設置選學內容”的形式。例如,初中有:

 

“讀一讀”,用于拓寬知識。如“用配方法分解二次三項式”“繁分式”“為什么不是有理數?”等。

 

“想一想”,用于拓廣學生的思維空間,加強前后知識的聯系,提高學生分析和解決問題的能力。如“王老師讓甲、乙兩名學生解同一個形如x2+px+q=0的一元二次方程。甲看錯了常數項,所求出來的根是14;乙看錯了一次項的系數,所求出來的根是―2,―3。想一想,原方程的根是多少?”

 

“做一做”,用于提高學生的動手能力和學習幾何的興趣。例如“在一張紙上劃一條直線l,在l上任取一點P,在l外任取一點Q,通過折紙折出直線l的垂線l1,使l11)經過點P;(2)經過點Q。這樣的折線能折出幾條?”

 

另外,習題配備上設置“B組題”,用于加強雙基的應用,提高學生的能力,同時滿足學有余力的學生的題量需求。

 

五、一點思考

 

從上面的簡單回顧可以看到,我國中學數學教材具有很好的傳統,應當作為寶貴財富繼承下來。其中,特別重要的是,我國教材建設中歷來把結構體系的系統性、邏輯性和聯系性作為重中之重,因為只有結構功能良好的教材,才能為學生提供建立良好數學認知結構的基礎,結構松散、邏輯混亂、缺乏聯系的教材,不僅不利于學生掌握基礎知識,而且很難使知識轉化為能力。按照這樣的標準,目前初中數學課標教材亟需修補斷裂的知識紐帶以加強系統性,而這又有賴于“課標”的修訂與完善(例如,代數中應補充三元一次方程組、因式分解、判別式等必備知識,加強根式、分式、二次函數等;幾何不僅應補充相似三角形、圓等的必備知識,而且應加強推理論證訓練);高中數學課程采用模塊化設計框架結構,由于每一模塊有課時限制,因而不利于教材的系統性,應當在后續的修訂中得到改進,只要規定好內容和學習要求,在教材結構體系構建上要給編寫者放權。

 

當然,我們應清醒地看到發展中的不足。教材需要改進的地方很多,例如要樹立“課本是寫給學生看的”觀念,更好地反映學生的學習心理,使之成為“學材”;克服過分拘泥于“嚴謹表述”而帶來的匠氣”,使教材更生動活潑,使學生因為喜歡課本而喜歡數學;等。但根據科學發展觀的要求,為了實現學生的全面、和諧與可持續發展,當前最需加強的是數學課程蘊含的價值觀資源的挖掘,為數學知識教學與價值觀影響的融合提供“物質”基礎。為此,應在“克服‘講邏輯而不講思想’的傾向,提高‘思想性’進而提升教材‘品味’”上作出切實的努力。這是因為“思想”是概念的靈魂,是理解數學知識、構建良好數學認知結構的核心所在,是數學知識轉化為數學能力的橋梁,是“數學素養”的源泉,是培育理性精神實現數學育人的土壤。另外,數學教育應為高水平創新人才打好堅實基礎,這就需要我們在改革中把增強學生的問題意識、獨立思考精神放在突出位置。我們已經在培養學生“凡事問個為什么”的習慣,給學生提問的示范,使他們“看過問題三百個,不會解題也會問”,進而逐步學會提問、善于提問等方面做出努力,但這才是起步,任重道遠。

 

  參考文獻:

 

  ①魏群,張月先編. 中國中學數學課程教材演變史料. 北京:人民教育出版社,1996161~173

 

  ②肖敬若主編. 普通教育改革. 北京人民教育出版社,198797~112

 

  ③人民教育出版社中學數學室. 九年義務教育初級中學教科書 代數 第二冊. 北京:人民教育出版社,2001154~155

 

  ④人民教育出版社中學數學室. 九年義務教育初級中學教科書 幾何 第一冊. 北京:人民教育出版社,2001

 

  ⑤人民教育出版社中學數學室. 九年義務教育初級中學教科書 代數 第四冊. 北京:人民教育出版社,200114

 

  ⑥人民教育出版社中學數學室. 九年義務教育初級中學教科書 代數 第三冊. 北京:人民教育出版社,2001163~212

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